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Einführung in die Dynamik by Friedrich Pfeiffer, Thorsten Schindler

By Friedrich Pfeiffer, Thorsten Schindler

Eine Einführung in die Grundlagen und Anwendungen der Dynamik mit besonderer Betonung der Schwingungen für Studierende und Praktiker der Ingenieurwissenschaften.

Behandelt werden
• die Grundgesetze der Kinematik und Kinetik, die Prinzipien von d’Alembert, Jourdain und Hamilton sowie die Lagrange‘schen und Newton-Euler‘schen Bewegungsgleichungen
• Lineare diskrete und kontinuierliche Schwingungssysteme, Lösungsverfahren sowie Approximationsmethoden von Ritz und Galerkin, Zeitverhalten, Stabilität
• Nichtlineare Mechanik, Lösungsverfahren am Beispiel des Schwingers mit einem Freiheitsgrad, Stabilität
• Phänomene der Schwingungsentstehung; fremderregte, parametererregte und selbsterregte Schwingungen
Die three. Auflage dieses intestine eingeführten Werks wurde gründlich überarbeitet, didaktisch verbessert und aktualisiert sowie an internationale Anforderungen angepasst.

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Da die variierte Größe bei Integralprinzipien die Dimension einer Wirkung (= Energie · Zeit) hat, werden sie Prinzipien der kleinsten Wirkung genannt [23]. 10 Gleichungen von Hamilton 55 mit dem Parameter ε in eine Schar von Funktionen ein mit der Verträglichkeitsbedingung η q (t1 ) = η q (t2 ) = 0 . 173) bedeutet dann 0= = d dε t2 t1 t2 Ldt t1 ε=0 = ∂L d η (t) − ∂q q dt t2 t1 ∂L ∂L η (t) + η˙ (t) dt ∂q q ∂ q˙ q ∂L ∂L η (t) η q (t) dt + ∂ q˙ ∂ q˙ q t2 . 151) wiederentdecken. 2 Kanonische Gleichungen von Hamilton Wir beschreiben ein dynamisches System durch Minimalkoordinaten q und durch generalisierte Impulskoordinaten p anstatt der üblicherweise benutzten Geschwin˙ Bei der folgenden Herleitung wollen wir uns ausgehend digkeitskoordinaten q.

Für die in Richtung der Minimalkoordinaten projizierte Massenmatrix ergibt sich ∗ M11 = J1 ∗ = J1 M12 ∗ = J1 M22 a1 2 a1 2 a1 2 2 1 + J2 + J3 + a22 (J5 + J6 ) , 4 2 1 + J2 − a22 (J5 + J6 ) , 4 2 1 + J2 + J4 + a22 (J5 + J6 ) 4 und somit 1 ∗ 2 1 ∗ 2 ∗ ˙ ˙ ϕ˙ 3 + M12 ϕ3 ϕ4 + M22 ϕ˙ 4 . T = M11 2 2 ∗ = M ∗ . Es gilt generell M ∗ > M ∗ . Wenn J3 = J4 , dann ist M11 22 11 12 ∗ = M ∗ ergibt Auswerten der L AGRANGE’schen Gleichungen zweiter Art mit M11 22 ∂T ∂ ϕ˙ 3 ∂T ∂ ϕ˙ 4 ∗ ˙ ∗ ˙ ϕ4 , ϕ3 + M12 = M11 ∗ ˙ ∗ ˙ ϕ4 + M12 ϕ3 , = M11 ∂T ∂ ϕ3 ∂T ∂ ϕ4 =0, =0 52 1 Grundlagen und damit die Bewegungsdifferentialgleichungen in Minimalkoordinaten: 1 ∗ ¨ ∗ ¨ ϕ3 + M12 ϕ4 = M1 a1 − M3 , M11 2 1 ∗ ¨ ∗ ¨ M11 ϕ4 + M12 ϕ3 = M1 a1 − M4 .

10 (Kugelpendel). 9 identifizieren (Abb. 20). Als Minimalkoordinaten wählen wir q = (ψ, ϑ )T . Im K-System wird Iz Kz Ky Iy O Ix ϑ Kx R v P m ψ˙ g Abb. 20: Kugelpendel. die Punktmasse m durch den Ortsvektor K rOP = 0 0 −R T beschrieben. Die Winkelgeschwindigkeit des K-Systems kann über die E ULER’sche Drehreihenfolge beschrieben werden: Kω = ϑ˙ ψ˙ sin ϑ ψ˙ cos ϑ T . 9 Lagrange’sche Bewegungsgleichungen 49 Damit erhalten wir die absolute Geschwindigkeit von m im K-System Kv = K ω × K rOP = −Rψ˙ sin ϑ Rϑ˙ 0 T und schließlich die kinetische Energie 1 1 mR2 sin2 ϑ 0 q˙ .

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