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Analyse 2 by Giroux A.

By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul intégral. On y présente d'abord los angeles définition et les propriétés de l'intégrale d'une fonction proceed d'une variable réelle. On utilise ensuite cet outil pour introduire les fonctions élémentaires usuelles de l'analyse, à savoir le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques directes et inverses et los angeles fonction gamma. On y étudie enfin los angeles représentation de ces fonctions par des séries de Taylor et des séries de Fourier. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il s'agit aussi comme son nom l'indique d'un deuxième cours d'analyse, qui think que l'on connaît déjà les propriétés des fonctions maintains et des fonctions dérivables, telles que présentées par exemple dans le cours examine 1.

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Th´ eor` eme 14 Les fonctions hyperboliques jouissent des propri´et´es suivantes : a) cosh2 x − sinh2 x = 1 ; b) cosh x = sinh x , sinh x = cosh x ; c) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x. D´emonstration. En vertu des d´efinitions que nous avons pos´ees, on a successivement a) cosh2 x − sinh2 x = e2x + 2 + e−2x e2x − 2 + e−2x − = 1; 4 4 b) cosh x = ex − e−x ex + e−x = sinh x , sinh x = = cosh x; 2 2 30 c) cosh x cosh y + sinh x sinh y = ex+y + ex−y e−x+y + 4 + e−x−y + ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y 4 ex+y + e−x−y = cosh(x + y), 2 = sinh x cosh y + sinh y cosh x = ex+y + ex−y e−x+y − 4 = − e−x−y + ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y 4 ex+y − e−x−y = sinh(x + y).

La relation (15) jointe au fait que Γ(1) = 1 montre que la fonction gamma interpole les factoriels : Γ(n + 1) = n! pour n = 0, 1, 2, 3, . . Lue `a l’envers, Γ(x + 1) , x elle permet de prolonger la fonction gamma `a R \ {0, −1, −2, −3, . }. Le trac´e du graphe de la fonction gamma est assez complexe et nous allons omettre sa justification dans ce cours (figure (19)). Γ(x) = 20 10 -2 4 2 6 -10 -20 Fig. 19 – La fonction gamma Th´ eor` eme 21 (L’int´ egrale de Gauss) Γ 1 2 = 63 √ π. (16) D´emonstration.

4 Les fonctions hyperboliques Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont les fonctions R → R d´efinies par les relations cosh x = ex + e−x ex − e−x , sinh x = 2 2 respectivement. Th´ eor` eme 14 Les fonctions hyperboliques jouissent des propri´et´es suivantes : a) cosh2 x − sinh2 x = 1 ; b) cosh x = sinh x , sinh x = cosh x ; c) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x. D´emonstration. En vertu des d´efinitions que nous avons pos´ees, on a successivement a) cosh2 x − sinh2 x = e2x + 2 + e−2x e2x − 2 + e−2x − = 1; 4 4 b) cosh x = ex − e−x ex + e−x = sinh x , sinh x = = cosh x; 2 2 30 c) cosh x cosh y + sinh x sinh y = ex+y + ex−y e−x+y + 4 + e−x−y + ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y 4 ex+y + e−x−y = cosh(x + y), 2 = sinh x cosh y + sinh y cosh x = ex+y + ex−y e−x+y − 4 = − e−x−y + ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y 4 ex+y − e−x−y = sinh(x + y).

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