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Algbre pour la licence 3. Groupes, anneaux, corps by Jean-Jacques Risler

By Jean-Jacques Risler

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L’application correspondant à la matrice M se décompose alors en trois applications linéaires : An R / An M / An L / An telles que L et R soient inversibles et que l’image de M soit le sous-module N de A n . Si on note (ei )1 i n la base canonique de An , on définit (fi )1 i n comme l’image i n). La famille (fi )1 i n est inverse de (ei ) par L : L(fi ) = ei (1 bien une base de An puisque L est inversible, et comme LM R(e i ) = ai ei , on a M R(ei ) = ai fi , 1 i n (ce qui est une autre façon de définir les f i ), et donc les (ai fi ) tels que ai = 0 forment une base de ImM = N satisfaisant aux conditions de l’énoncé.

8). 2 POLYNÔME MINIMAL Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K . Nous noterons A l’anneau K[X]. 2 Polynôme minimal 51 P (u) = a0 I +a1 u+· · ·+ap up (I est l’identité et up est l’endomorphisme u◦u◦· · ·◦u p fois). x = P (u)(x) (image de x par l’endomorphisme P (u)). Il est immédiat que ces opérations satisfont les axiomes des modules. La multiplication par les constantes ai est définie par la structure d’espace vectoriel de E . Il s’en suit que la structure de module de E prolonge celle d’espace vectoriel : si a 0 = 0 ∈ K , la multiplication par a0 d’un élément de E (définie car E est un espace vectoriel) est la même si on considère E comme un A-module et a 0 comme un polynôme de degré 0.

5 au morphisme (surjectif) π 1 . 9. Soit I un idéal de A. Le A-module quotient A/I est alors naturellement muni d’une structure d’anneau propagée par celle de A via le morphisme canonique π : A → A/I : si x, y ∈ A/I , il existe a et b dans A tels que π(a) = x, π(b) = y . On pose alors xy = π(ab), et il est immédiat de voir que cette multiplication est bien définie et fait de A/I un anneau avec unité π(1) (que l’on note aussi 1 en général). 2 CALCUL MATRICIEL SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Dans toute la suite de ce chapitre, A désignera un anneau euclidien pour lequel il existe un algorithme pour la division euclidienne.

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